인공지능을 위한 선형대수 - CHAPTER 1. 선형대수의 기초

www.edwith.org/linearalgebra4ai/lecture/22720/

[LECTURE] 선형대수의 기초 : edwith

본 게시글은 주재걸 교수님의 인공지능을 위한 선형대수 강의를 수강하고 관련 내용을 정리한 글입니다.

Scalar, Vector, and Matrix

Scalar: a single number (lower case) e.g., \(3.8\)

 

Vector: an ordered list of numbers (boldface, lower case) e.g., \(\pmb{x}\)

ordered 에 유의, 반대로 order가 정해져있지 않은 array는 ? Set

 

$$\pmb{x}=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$$

 

Matrix: a two-dimensional array of numbers (capital letter) e.g., \(A\)

 

$$A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}$$

 

Row vector: a horizontal vector

Column Vector: a vertical vector

 

Vector를 이야기할때 보통 Column Vector를 의미하는 경우가 많습니다.

$$\pmb{x}=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$$

 

Row Vector를 표현할때 Transpose를 사용하여 Column Vector꼴로 표현하기도 합니다.

$$\pmb{x}^{T}=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}^{T}$$

Matrix Notations

Square matrix (#rows = #columns)

Rectangular matrix (possible #rows \(\ne\) #columns)

Transpose of matix (mirroring across the main diagonal)

여기서, #은 number of 를 의미합니다.

 

\(A_{ij}\) : (i, j)-th component of \(A\)

\(A_{i,:}\) : i-th row vector of \(A\)

\(A_{:,i}\) : i-th column vector of \(A\)

여기서, \(A\)는 행렬을 의미합니다.

Properties of Matrix

\(AB \ne BA\): Matrix multiplication is NOT commutative(교환 법칙)!

\(A\)와 \(B\)의 Shape에 따라서 \(AB\), \(BA\) 연산이 아예 성립되지 않을 수 있으며, \(AB\), \(BA\) 연산이 성립되더라도 NOT commutative 하거나 Shape에 차이가 발생할 수 있다.

 

\(A(B+C)\) = \(AB+BC\) : Distributive(분배 법칙)

\(A(BC)\) = \((AB)C\) : Associative(결합 법칙)

\((AB)^{T}\) = \(B^{T}A^{T}\) : Property of transpose

\((AB)^{-1}\) = \(B^{-1}A^{-1}\) : Property of inverse matrix