행렬의 Determinant 성질

행렬 $A$가 존재합니다.

 

$det(A)$가 0이 아니면, $A$는 invertible 합니다.

$det(A)$가 0이면, $A$는 not invertible 합니다.

 

반대로,

$A$가 invertible 하면, $det(A)$는 0이 아닙니다.

$A$가 not invertible 하면, $det(A)$는 0입니다.

 

Linear equation $Ax=b$가 존재합니다.

 

$det(A)$가 0이 아니면, $A$는 invertible 하기때문에 다음의 공식을 통해 Unique solution인 $x$를 계산할 수 있습니다.

 

Linear equation $Ax=0$가 존재합니다.

 

$det(A)$가 0이 아니면, Unique solution인 $x$는 영벡터가 됩니다.

이 성질은 Eigenvalues와 Eigenvectors에 대해 공부할때에도 나오니 기억합시다!

 

$det(I)=1$ 입니다.

 

행렬 $A$의 행을 서로 교환하면 Determinant의 부호가 바뀝니다.

 

행렬 $A$의 행 중 서로 같은 행이 존재하면, $det(A)$는 0입니다. 

행렬 $A$의 한 행의 elements가 모두 0이라면, $det(A)$는 0입니다.

 

Diagonal matrix, Upper triangular matrix, Lower triangular matrix의 Determinant는 Diagonal elements 의 Product와 같습니다.

 

$det(A+B)\ne det(A)+det(B)$ 입니다.

$det(AB)=det(A)det(B)$ 입니다.

$det(A^{-1})=1/det(A)$ 입니다.

$det(A^T)=det(A)$ 입니다.