행렬의 Determinant 성질

행렬 \(A\)가 존재합니다.

 

\(det(A)\)가 0이 아니면, \(A\)는 invertible 합니다.

\(det(A)\)가 0이면, \(A\)는 not invertible 합니다.

 

반대로,

\(A\)가 invertible 하면, \(det(A)\)는 0이 아닙니다.

\(A\)가 not invertible 하면, \(det(A)\)는 0입니다.

 

Linear equation \(Ax=b\)가 존재합니다.

 

\(det(A)\)가 0이 아니면, \(A\)는 invertible 하기때문에 다음의 공식을 통해 Unique solution인 \(x\)를 계산할 수 있습니다.

 

Linear equation \(Ax=0\)가 존재합니다.

 

\(det(A)\)가 0이 아니면, Unique solution인 \(x\)는 영벡터가 됩니다.

이 성질은 Eigenvalues와 Eigenvectors에 대해 공부할때에도 나오니 기억합시다!

 

\(det(I)=1\) 입니다.

 

행렬 \(A\)의 행을 서로 교환하면 Determinant의 부호가 바뀝니다.

 

행렬 \(A\)의 행 중 서로 같은 행이 존재하면, \(det(A)\)는 0입니다. 

행렬 \(A\)의 한 행의 elements가 모두 0이라면, \(det(A)\)는 0입니다.

 

Diagonal matrix, Upper triangular matrix, Lower triangular matrix의 Determinant는 Diagonal elements 의 Product와 같습니다.

 

\(det(A+B) \ne det(A) + det(B)\) 입니다.

\(det(AB)=det(A)det(B)\) 입니다.

\(det(A^{-1})=1/det(A)\) 입니다.

\(det(A^{T})=det(A)\) 입니다.