직교 행렬(Orthogonal Matrix)

임의의 두 벡터 $a$, $b$ 가 직교(Orthogonal)하다는 것은 벡터 $a$와 $b$간의 내적(Inner product)값이 0임을 의미합니다. 추가적으로, 두 벡터 $a$, $b$ 의 Norm이 각각 1이면 두 벡터는 Orthonormal 하다라고 정의됩니다.

 

임의의 한 행렬 $A$가 직교 행렬(Orthognal Matrix)일때, 직교 행렬 $A$는 아래와 같은 성질을 만족합니다.

 

$$A^{-1}=A^T$$

$$A{A}^T=I$$

 

여기서, $I$ 는 단위 행렬입니다.

 

이렇게만 봐서는 벡터에서 쓰이는 Orthogonal의 의미와 행렬에서 쓰이는 Orthgonal의 의미가 사뭇 달라보입니다. 위의 성질을 만족하는 행렬을 왜 Orthogonal Matrix라고 표현할까요?

  

Orthogonal Matrix $A$와 $A^T$간의 행렬 곱의 결과는 단위 행렬입니다. 여기서, 값이 1인 부분(Main Diagonal)은 직교 행렬 $A$의 Colum Vector들의 각각의 Norm이고, 0인 부분은 서로 다른 Column Vector간의 내적 값입니다.

 

서로 다른 Column Vector간의 내적 값이 0이라는 의미는, 각 Column Vector는 서로 Orthogonal 하다는 것을 의미합니다. 이러한 이유로 $A^{-1}=A^T$ 인 행렬 $A$를 Orthogonal Matrix라 칭합니다.