직교 행렬(Orthogonal Matrix)

임의의 두 벡터 \(a\), \(b\) 가 직교(Orthogonal)하다는 것은 벡터 \(a\)와 \(b\)간의 내적(Inner product)값이 0임을 의미합니다. 추가적으로, 두 벡터 \(a\), \(b\) 의 Norm이 각각 1이면 두 벡터는 Orthonormal 하다라고 정의됩니다.

 

임의의 한 행렬 \(A\)가 직교 행렬(Orthognal Matrix)일때, 직교 행렬 \(A\)는 아래와 같은 성질을 만족합니다.

 

$$A^{-1} = A^T$$

$$AA^{T} = I$$

 

여기서, \(I\) 는 단위 행렬입니다.

 

이렇게만 봐서는 벡터에서 쓰이는 Orthogonal의 의미와 행렬에서 쓰이는 Orthgonal의 의미가 사뭇 달라보입니다. 위의 성질을 만족하는 행렬을 왜 Orthogonal Matrix라고 표현할까요?

  

Orthogonal Matrix \(A\)와 \(A^{T}\)간의 행렬 곱의 결과는 단위 행렬입니다. 여기서, 값이 1인 부분(Main Diagonal)은 직교 행렬 \(A\)의 Colum Vector들의 각각의 Norm이고, 0인 부분은 서로 다른 Column Vector간의 내적 값입니다.

 

서로 다른 Column Vector간의 내적 값이 0이라는 의미는, 각 Column Vector는 서로 Orthogonal 하다는 것을 의미합니다. 이러한 이유로 \(A^{-1} = A^T\) 인 행렬 \(A\)를 Orthogonal Matrix라 칭합니다.